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표제지

목차

논문요약 10

Ⅰ. 서론 13

1. 연구의 필요성 및 목적 13

2. 연구 문제 15

3. 용어의 정의 16

가. 칠교문제 16

나. 칠교문제의 해결 16

다. 문제해결 전략 16

라. 수학적 사고 16

4. 연구의 제한점 17

Ⅱ. 이론적 배경 18

1. 딘즈(Dienes)의 활동적인 수학 학습 18

가. 수학적 개념 학습의 원리 18

2. 조작 교구의 활용 20

가. 조작교구가 지녀야 할 특성(안병곤, 2011, p. 16) 21

나. 교육적 가치가 있는 조작교구의 기능(안병곤, 2011, 17-18) 22

다. 구체적 조작교구 선택 기준(안병곤, 2011, 19-20) 22

3. 칠교(탱그램)의 특징 23

가. 칠교의 유래 23

나. 칠교의 정의 25

다. 칠교의 구성 26

라. 칠교의 원리 28

마. 칠교의 규칙 28

바. 칠교 문제의 분류 29

사. 칠교의 수학교육적 효과 32

아. 칠교 조작 34

4. 문제해결 전략 36

1) 실제로 해 보기 36

2) 식 만들기 37

3) 예상과 확인 37

4) 그림 그리기 37

5) 표 만들기 38

6) 규칙 찾기 38

7) 단순화하기 38

8) 거꾸로 풀기 39

9) 목록 만들기 39

10) 특수화하기 39

11) 실험해 보기 39

12) 논리적으로 추론하기 40

13) 관점을 바꾸어 보기 41

5. 수학적 사고 43

1) 귀납적 사고 43

2) 연역적 사고 44

3) 유추적 사고 44

4) 통합적 사고 45

5) 정교화 사고 45

6) 추상화 사고 46

7) 일반화 사고 46

8) 특수화 사고 47

6. 선행 연구 분석 48

Ⅲ. 연구 방법 및 절차 51

1. 연구 대상 51

가. 학생 A 52

나. 학생 B 53

2. 연구 절차 54

3. 연구 방법 55

4. 자료 수집 56

가. 관찰 56

나. 동영상 촬영 및 분석 56

다. 면담 57

라. 활동지(칠교도) 57

5. 연구 도구 58

가. 칠교 58

나. 칠교문제 58

다. 연구 참여자 사용 도구 59

라. 활동지(칠교도) 60

6. 분석 방법 60

가. 문제해결전략 60

나. 수학적 사고 62

다. 칠교 조작 63

라. 칠교 조각의 명칭 63

Ⅳ. 연구 결과 64

1. 칠교문제해결 활동 결과 68

가. 실루엣형 칠교문제 68

나. 대칭형 칠교문제 72

다. 볼록 다각형 칠교문제 77

2. 칠교문제해결 활동에서의 문제해결전략 분석 85

가. 예상과 확인 86

나. 논리적 추론 88

다. 칠교 조작('도형 합치기'를 중심으로) 89

3. 칠교문제해결 활동에서의 수학적 사고 분석 91

가. 특수화 사고 92

나. 유추적 사고 93

다. 귀납적 사고 94

라. 일반화 사고 96

마. 발전적 사고 97

Ⅴ. 논의 99

1. 칠교놀이에 대한 태도 변화 99

가. 학생 A 99

나. 학생 B 100

2. 칠교 조각의 넓이 관계 102

3. 칠교 조각의 배치 순서 102

가. 학생 A 102

나. 학생 B 104

4. 학생 전략의 변화 106

가. 학생 A 106

나. 학생 B 107

Ⅵ. 결론 및 제언 108

1. 결론 108

2. 제언 110

참고 문헌 111

ABSTRACT 114

표목차

〈표 Ⅱ-1〉 칠교 조작 36

〈표 Ⅱ-2〉 학자별 문제해결전략 비교 42

〈표 Ⅲ-1〉 연구 절차 54

〈표 Ⅲ-2〉 회기별 일정 55

〈표 Ⅲ-3〉 문제해결전략 분석틀 61

〈표 Ⅲ-4〉 수학적 사고 분석틀 62

〈표 Ⅲ-5〉 칠교 조작 분석틀 63

〈표 Ⅳ-1〉 칠교문제와 문제해결전략 85

〈표 Ⅳ-2〉 칠교문제와 수학적 사고 91

〈표 Ⅴ-1〉 학생 A의 칠교 문제별 칠교 조각 배치 순서 103

〈표 Ⅴ-2〉 학생 B의 칠교 문제별 칠교 조각 배치 순서 105

〈표 Ⅴ-3〉 학생 A의 문제해결전략, 칠교 조작, 수학적 사고의 변화 106

〈표 Ⅴ-4〉 학생 B의 문제해결전략, 칠교 조작, 수학적 사고의 변화 107

그림목차

[그림 Ⅱ-1] 칠교의 구성 27

[그림 Ⅱ-2] 구획선의 유무에 따른 칠교문제의 분류 30

[그림 Ⅱ-3] '탱그램활동의 3단계'에 따른 칠교문제의 분류 30

[그림 Ⅱ-4] 칠교문제 해결전략의 발견을 위한 칠교문제의 분류 31

[그림 Ⅱ-5] 비형식적 증명에 활용되는 칠교 33

[그림 Ⅲ-1] 나무 칠교와 번호 칠교판 58

[그림 Ⅲ-2] 연구용 칠교문제 59

[그림 Ⅳ-1] 직각이등변삼각형의 네 가지 모습 65

[그림 Ⅳ-2] 평행사변형의 네 가지 모습 65

[그림 Ⅳ-3] 평행사변형의 네 가지 배치 66

[그림 Ⅳ-4] 학생 A의 실루엣형 칠교문제 활동 결과 68

[그림 Ⅳ-5] 학생 A의 실루엣형 칠교문제 해결 과정 69

[그림 Ⅳ-6] 학생 B의 실루엣형 칠교문제 활동 결과 70

[그림 Ⅳ-7] 학생 B의 실루엣형 칠교문제 해결 과정 71

[그림 Ⅳ-8] 학생 A의 대칭형 칠교문제 활동 결과 72

[그림 Ⅳ-9] 학생 A의 대칭형 칠교문제 해결 과정(1차 시도) 73

[그림 Ⅳ-10] 학생 A의 대칭형 칠교문제 해결 과정(2차 시도) 74

[그림 Ⅳ-11] 학생 A의 대칭형 칠교문제 해결 과정(2차 시도) 중 도형 합치기 75

[그림 Ⅳ-12] 학생 B의 대칭형 칠교문제 활동 결과 75

[그림 Ⅳ-13] 학생 B의 대칭형 칠교문제 해결 과정 76

[그림 Ⅳ-14] 학생 A의 볼록 다각형 칠교문제 활동 결과 77

[그림 Ⅳ-15] 학생 A의 볼록 다각형 칠교문제 해결 과정(1차 시도) 78

[그림 Ⅳ-16] 학생 A의 볼록 다각형 칠교문제 해결 과정(2차 시도) 79

[그림 Ⅳ-17] 학생 B의 볼록 다각형 칠교문제 활동 결과 80

[그림 Ⅳ-18] 학생 B의 볼록 다각형 칠교문제 해결 과정(1차 시도) 81

[그림 Ⅳ-19] 학생 B의 볼록 다각형 칠교문제 해결 과정(2차 시도) 82

[그림 Ⅳ-20] 학생 B의 볼록 다각형 칠교문제 해결 과정(3차 시도) 83

[그림 Ⅳ-21] 학생 A의 실루엣형 칠교문제, 조각 배치의 경우의 수(예상과 확인) 87

[그림 Ⅳ-22] 학생 B의 볼록 다각형 칠교문제, 첫 조각의 배치(예상과 확인) 87

[그림 Ⅳ-23] 학생 A, B의 유추를 통한 동일 조각 배치(논리적 추론) 88

[그림 Ⅳ-24] 도형 합치기 조작의 적용 90

[그림 Ⅳ-25] 학생 A, 실루엣형 칠교문제(특수화 사고) 92

[그림 Ⅳ-26] 대체 가능한 칠교 조각들 93

[그림 Ⅳ-27] 학생들의 대칭형 칠교문제와 그 해결과정(유추적 사고) 94

[그림 Ⅳ-28] 학생 A, 볼록 다각형 칠교문제 해결과정(유추적 사고) 94

[그림 Ⅳ-29] 볼록 다각형 칠교문제 해결과정 중 첫 장면(일반화 사고) 96

[그림 Ⅳ-30] 학생 B의 볼록 다각형 칠교문제 해결 후 답안의 변형(발전적 사고) 98

[그림 Ⅴ-1] 칠교 조각의 넓이 관계 102

초록보기

 본 연구는 다양한 유형의 칠교문제를 접한 초등학교 5학년 학생이 문제해결 과정에서 보이는 문제해결 전략과 수학적 사고를 통해 수학적 사고 훈련 교구로서 칠교가 지닌 특징을 알아보고자 하였다. 이 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

가. 칠교문제의 해결과정에서 나타나는 초등학생의 문제해결 전략은 무엇인가?

나. 칠교문제의 해결과정에서 나타나는 초등학생의 수학적 사고는 무엇인가?

이러한 연구 문제를 해결하기 위해, 서울시 Y초등학교 5학년 학생 2명(모두 남학생)을 대상으로 각각 세 문제씩의 칠교문제를 풀어보게 하는 사례연구를 진행하였다. 본 연구에서 사례가 되는 것은 칠교문제의 해결을 위해 학생들이 보이는 문제해결 전략과 수학적 사고 관련 반응이다. 주로 학생의 말과 칠교 조작으로 드러나는 학생들의 반응을 살펴보기 위해 관찰, 동영상 촬영 및 분석, 면담을 활용하였다.

두 학생이 각각 해결한 칠교문제는 난이도에 따라 실루엣형, 대칭형, 볼록 다각형 문제의 순서로 하루에 한 문제씩 제시되었고, 두 학생은 같은 유형의 문제를 같은 순서로 해결하되 서로 다른 문제를 제공받았다. 연구 기간은 총 2주로 한 주에 한 학생씩 연구에 참여하였고, 학생들이 접하는 칠교문제는 쉬운 문제에서 어려운 문제 순으로 제공되었다.

본 연구를 통해 얻은 결과는 다음과 같다.

첫째, 칠교문제의 해결과정에서 나타나는 초등학생의 문제해결 전략은 '예상과 확인', '논리적 추론'이었다. 특히, 칠교 조작 중에서는 '밀기', '뒤집기', '돌리기', '도형 합치기'가 칠교문제 해결과정에서 사용되었다.

둘째, 칠교문제의 해결과정에서 나타나는 초등학생의 수학적 사고는 '특수화 사고', '유추적 사고', '일반화 사고'였다. 다만, 칠교문제 해결 후 문제해결 과정을 반성하는 과정에서 학생에 따라 '귀납적 사고'와 '발전적 사고'를 보이기도 했다.

셋째, 본 연구에서는 학생들에게 칠교문제를 제공할 때 문제의 난이도에 따라, 쉬운 문제에서 어려운 문제의 순서로 제공한 결과, 문제가 어려워짐에 따라 학생들이 문제해결에 동원하는 문제해결전략과 수학적 사고의 종류가 점증하는 경향이 있었다.

이러한 연구 결과를 바탕으로 두 가지 제언을 하고자 한다.

첫째, 이번 연구를 통해 칠교문제가 초등학생들에게 논리적 추론(특히, 유추)의 기회를 제공함을 확인할 수 있었다. 이에 칠교놀이를 통한 수학적 추론 과제를 개발해 보는 것은 의미 있는 연구가 될 것이다.

둘째, 이번 연구는 칠교문제의 해결과정에서 특수화 사고, 유추적 사고 등의 수학적 사고가 활용됨을 확인하는데 그친 사례연구였다. 따라서 한 학기 등 장기간 동안 좀 더 많은 학생들이 칠교문제해결에 참여했을 때, 칠교문제해결 활동이 수학적 사고력 향상에 미치는 효과를 사전 및 사후 지능검사, 도형 단원을 중심으로 하는 성취도 검사 등으로 검증해 보는 연구가 필요하다.

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