페어링은 두 개의 타원 곡선 간의 매핑 함수로, 다양한 암호학적 문제를 해결하는 데 사용될 수 있다. 본 논문에서는 인자를 이용하여 페어링을 소개하고, 페어링을 사용하여 하다마드 곱 논증을 증명하는 프로토콜을 설계한다. 우리는 길이가 n인 벡터에 대해 증명 크기가 O(log n)이고, 증명과 검증 시간이 Oλ(n)인 투명한 하다마드 곱 논증(HPA) 스킴을 제안한다. 특히, 키와 메시지 공간의 대칭성과 AFGHO 커밋먼트를 이용하여 검증자 친화적인 HPA 스킴을 만든다. 이 스킴은 증명자의 계산 비용과 증명 크기를 유지하면서 검증자의 계산 비용을 Oλ(log n)으로 최적화한다. 우리는 이 스킴을 활용하여 투명한 commit-and-prove SNARK 스킴과 새로운 투명한 증명 집계 스킴을 제안힌다. 또한, 계산 시간과 증명 크기를 유지하면서, 증가적으로 검증 가능한 계산 (IVC) 스킴의 기본 구성 요소인 relaxed R₁CS 를 지원하는 투명한 영지식 SNARK 스킴을 확장힌다.