본 논문에서는, 고전적 등주부등식의 두 가지 증명과 관련한 예시를 조사하여 제시한다. 첫번째로, Knothe 맵을 이용한 이방성 등주부등식의 증명을 다룬다. 해당 방식을 보다 직관적으로 이해하기 위해, 몇가지 조건을 추가하여 잘 알려진 2차원의 등주부등식을 유도하는 과정을 포함한다. 둘째, ABP 방법을 이용하여 등주부등식을 증명하는데, 이 과정에서 ABP 방법을 노이만 문제에 적용하고 접촉 집합를 정의함으로써 증명에 필요한 부분집합 관계식 및 부등식을 얻어내어 정리를 확인한다. 또한 몇 보조정리를 이용하면, 볼록한 원뿔 집합에서의 가중 등주부등식으로 증명을 확장할 수 있다. 앞서 다룬 유계 집합 등주부등식의 등호가 성립하는 영역은 일반적으로 공 모양이나, 다양한 조건에서 다른 모양의 영역이 등주부등식을 만족시킬 수 있고, 본 논문의 마지막으로 그 예를 제시함으로써 시야를 넓히고 앞서 다룬 내용의 확장 방식을 고려할 수 있다.