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표제지

감사의 글

목차

국문초록 9

I. 서론 11

A. 연구의 필요성 및 목적 11

B. 연구 문제 12

C. 기대되는 효과 12

II. 이론적 배경 13

A. 프랙탈의 출현 및 소개 13

1. 프랙탈의 기원과 정의 13

2. 창시자 베노이트 만델브로트 15

B. 프랙탈의 특성 16

1. 자기 유사성(self-similarity) 16

2. 프랙탈 차원(소수차원) 19

C. 여러 가지 프랙탈의 예 23

1. 자연에서의 프랙탈 23

2. 고전에서의 프랙탈 26

III. 선행연구 및 분석 34

A. 중등수학에서 프랙탈 지도의 선행연구 34

IV. 중등학교 수학에서 프랙탈의 활용 방안 39

A. 프랙탈과 관련된 수학교과 영역 39

B. 고등학교 교과서 탐구활동에 나타난 프랙탈 기하 분석 40

C. 학교수학에서 활용 가능한 프랙탈 지도 활동방안 연구 43

1. 코흐 눈송이 43

2. 시어핀스키의 프랙탈 도형 47

3. 프랙탈 도형 생성해 보기 62

4. 칸토어 집합 (Cantor set) 68

5. 프랙탈 나무(Fractal Tree) 71

6. 피타고라스 나무(Pythagoras Tree) 75

7. 파스칼 삼각형(Pascal Triangle) 82

8. 세포자동자(Cellular automata) 90

V. 결론 및 제언 94

참고문헌 96

Abstract 98

표목차

〈표II-1〉 여러 가지 도형의 축소율 19

〈표IV-1〉 프랙탈과 관련된 수학교과 영역 39

〈표IV-2〉 프랙탈과 관련된 수학교과 영역 40

〈표IV-3〉 출판사별 프랙탈 도형 소개 현황 42

그림목차

〈그림II-1〉 코흐곡선(상) 과 시어핀스키 삼각형(하) 17

〈그림II-2〉 시어피스키 삼각형, 프랙탈 나무, 책표지 18

〈그림II-3〉 선, 정사각형, 정육면체 18

〈그림II-4〉 선분, 정사각형, 정육면체 21

〈그림II-5〉 코흐곡선, 칸토어 집합, 시어핀스키 삼각형 22

〈그림II-6〉 번개 23

〈그림II-7〉 강 24

〈그림II-8〉 구름 24

〈그림II-9〉 뇌 24

〈그림II-10〉 주가 25

〈그림II-11〉 밤하늘의 별 25

〈그림II-12〉 칸토어 집합 26

〈그림II-13〉 코흐 곡선 27

〈그림II-14〉 코흐 눈송이 27

〈그림II-15〉 시어핀스키 삼각형 28

〈그림II-16〉 시어핀스키 사면체 28

〈그림II-17〉 시어핀스키 카펫 28

〈그림II-18〉 맹거 스폰지 29

〈그림II-19〉 줄리아 집합 30

〈그림II-20〉 만델브로트 집합 30

〈그림II-21〉 파스칼 삼각형 31

〈그림II-22〉 꽃 양배추 32

〈그림II-23〉 피타고라스 나무 32

〈그림II-24〉 세포자동 기계 33

초록보기

본 연구는 프랙탈의 성질과 종류를 알아보고, 중등 수학에서 프랙탈을 활용할 수 있는 내용을 분석하여, 수학 학습 지도에 프랙탈을 활용한 수학 교수-학습 방안을 탐구해 보는데 그 목적을 두고 있다.

이를 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.

첫째, 중등 수학 내용 중 프랙탈을 활용 할 수 있는 내용을 조사한다.

둘째, 중등 수학에서 프랙탈을 활용한 수업방안에 대해 알아본다.

이와 같은 연구문제 해결을 위해 프랙탈의 기원과 정의, 창시자 베노이트 만델브로트에 대해 알아보고, 프랙탈의 특징인 자기유사성(self-similarity)과 프랙탈 차원, 그리고 여러 가지 프랙탈의 예를 선행 연구와 관련 문헌을 통해 고찰 하였다. 제 7차 수학과 교육 과정 중 프랙탈과 관련된 내용을 분석하고, 8종 교과서 별로 프랙탈 도형이 소개된 내용을 조사하여, 학교 수학에서 활용 가능한 프랙탈을 설정한 다음 국내 문헌, 학술지, 외국문헌, 웹 사이트 등을 참고로 프랙탈 학습 자료를 구성했다.

본 연구의 자료는 다음과 같은 기대효과에 초점을 두어 구성하였다.

첫째, 프랙탈은 닮음 무한의 개념을 바탕으로 하기 때문에 그 특성상 닮음, 수열, 극한, 알고리즘, 무한급수의 이해에 효과가 있을 것이다.

둘째, 프랙탈은 직접 구성해 보고, 규칙을 찾아보는 활동을 통해 지도하는 것이 효과적이므로, 구성주의의 입장에서 심화활동, 수행평가, 탐구활동 등의 소재로 개발하고자 한다.

셋째, 프랙탈을 생활주변의 자연현상과 관련지어 봄으로서 학생들에게 흥미와 긍정적인 태도를 길러줄 수 있을 것이다.

본 연구를 바탕으로 다음과 같은 몇 가지 제언을 하고자 한다.

첫째, 본 연구는 7차 교육과정에 따라 이미 출판된 교과서를 중심으로 분석되었으므로, 제 7차 교육과정 수정안에 따라 개편된 교과서를 중심으로 프랙탈과 관련된 수학교과 내용의 연구가 필요하다.

둘째, 프랙탈을 이용한 교수-학습 자료를 바탕으로 학교 수업에 적용한 결과를 분석한 실험연구가 필요하다.

셋째, 프랙탈은 수열, 극한, 무한급수와 많은 관련이 있다. 그러나 이외에도 조합, 이항정리와 관련된 프랙탈의 다양한 학습자료 개발이 필요하다.

넷째, 기하학은 컴퓨터와 소프트웨어등의 다양한 매체를 통한 시각적 접근이 효과적이므로, 공학을 활용한 프랙탈 학습 자료의 개발이 필요하다.

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