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표제지

목차

논문개요 8

I. 서론 11

A. 연구의 필요성 및 목적 11

B. 연구 문제 15

C. 용어의 정의 16

II. 이론적 배경 17

A. 수학적 모델링 17

1. 수학적 모델링의 개념 17

2. 수학적 모델링의 모형 및 절차 18

B. 수학적 정당화 24

1. 수학적 정당화의 개념 24

2. 수학적 정당화의 유형과 수준 25

C. 수학적 의사소통 33

III. 연구 방법 41

A. 연구 대상 41

1. 연구 참여자 41

2. 연구자의 역할 43

B. 연구 설계 43

1. 수학적 모델링을 적용한 수업을 위한 설계 44

2. 수학적 정당화 수준 분석을 위한 설계 52

3. 수학적 의사소통 수준 분석을 위한 설계 52

4. 사전 검사와 사후 검사에서 나타난 수학적 정당화 수준 분석을 위한 설계 53

C. 연구 절차 53

D. 연구 도구 54

1. 수학적 정당화 수준 분석 도구 54

2. 수학적 의사소통 수준 분석 도구 58

3. 사전·사후 검사 도구 61

E. 분석 방법 65

IV. 연구 결과 68

A. 수학적 모델링 수업에서 나타난 수학적 정당화 68

1. 수학적 모델링 수업 과정에서 나타난 수학적 정당화의 수준 69

2. 사전·사후 검사에 나타난 수학적 정당화의 수준과 특징 84

B. 수학적 모델링 수업에서 나타난 수학적 의사소통 96

1. 수학적 모델링 수업에서 나타난 의사소통의 수준 96

2. 수학적 의사소통 사례 105

3. 수학적 의사소통 변화에 따른 정당화 수준 110

V. 결론 및 제언 113

A. 요약 및 결론 113

B. 논의 및 제언 116

참고문헌 119

부록 129

〈부록 1〉 사전 검사지(약수와 배수) 130

〈부록 2〉 사후 검사지(약수와 배수) 135

〈부록 3〉 사전 검사지(분수) 140

〈부록 4〉 사후 검사지(분수) 145

〈부록 5〉 사전 검사 문항의 수학적 정당화 분석 기준(약수와 배수) 150

〈부록 6〉 사전 검사문항의 수학적 정당화 분석 기준(분수) 153

〈부록 7〉 사전 검사문항(약수와 배수)의 문제해결력(성취도) 채점 루브릭 156

〈부록 8〉 사전 검사문항(분수)의 문제해결력(성취도) 채점 루브릭 159

〈부록 9〉 수학적 모델링 적용 학습 활동지(약수와 배수) 162

〈부록 10〉 〈모둠 3〉, 〈모둠 6〉의 활동 관찰 내용 169

〈부록 11〉 학생들 수학적 모델링 학습 활동 결과물 203

〈부록 12〉 6개 모둠의 의사소통 수준 분석 결과 209

ABSTRACT 217

표목차

〈표 II-1〉 Balacheff(1987)의 증명의 수준 26

〈표 II-2〉 Harel과 Sowder(1998, 2007)의 정당화 유형 28

〈표 II-3〉 Miyazaki(2000)의 증명의 유형 29

〈표 II-4〉 Simon과 Blume(1996)의 정당화 수준 범주화 30

〈표 II-5〉 송상헌, 허지연, 임재훈(2006b)의 정당화의 수준과 유형 30

〈표 II-6〉 김정하, 강문봉(2009)의 정당화의 유형 범주화 31

〈표 II-7〉 김정하(2010)의 수학적 정당화 단계 31

〈표 II-8〉 서지수(2011)의 수학적 정당화 유형 분석의 틀 32

〈표 II-9〉 이미애, 김수환(2001) 수업 분석의 기준 중 의사소통 내용 35

〈표 II-10〉 QCAI의 의사소통 총괄 채점 기준 36

〈표 II-11〉 수학적 의사소통에 대한 Vermont주의 평가 기준 37

〈표 II-12〉 홍우주, 방정숙(2008)의 수학적 의사소통 수준에 대한 분석 기준 37

〈표 II-13〉 이종희, 김선희, 채미애(2001) 수학적 의사소통 능력 평가 기준 38

〈표 III-1〉 연구 대상 학급의 구성 42

〈표 III-2〉 〈모둠 3〉학생들의 사전·사후 문제해결력(성취도) 점수 42

〈표 III-3〉 〈모둠 6〉학생들의 사전·사후 문제해결력(성취도) 점수 43

〈표 III-4〉 수학적 모델링을 활용한 수와 연산 영역의 교수·학습 과정안(약수와 배수) 49

〈표 III-5〉 수학적 모델링을 활용한 수와 연산 영역의 교수·학습 과정안(분수) 51

〈표 III-6〉 본 연구의 진행과정 54

〈표 III-7〉 본 연구에 사용된 수학적 정당화 수준 분석 기준 55

〈표 III-8〉 본 연구에 사용된 수학적 의사소통 수준 분석 기준 59

〈표 III-9〉 사전·사후 검사 도구의 문항 내적 일관성 신뢰도(Cronbach α) 61

〈표 III-10〉 사전·사후 검사 1의 문제해결력에 대한 채점자간 신뢰도 62

〈표 III-11〉 사전·사후 검사 2의 문제해결력에 대한 채점자간 신뢰도 62

〈표 III-12〉 사후검사 5번 문항의 수학적 정당화 수준 분석 기준 63

〈표 III-13〉 사전 사후 검사 문제해결 평가 준거틀 65

〈표 III-14〉 연구 문제에 따른 분석 방법 66

〈표 IV-1〉 〈교통신호등 시간은 몇 초가 적당할까?〉 해결 과정에서 나타난 정당화 수준 71

〈표 IV-2〉 〈마라톤 코스를 정해보자〉 해결 과정에서 나타난 정당화 수준 73

〈표 IV-3〉 〈모둠 3〉의 준비단계에서의 활동 내용 76

〈표 IV-4〉 〈모둠 3〉 학생들의 정당화 1수준 내용 77

〈표 IV-5〉 〈모둠 3〉 학생들의 정당화 3-A수준 내용 79

〈표 IV-6〉 〈모둠 6〉의 준비 활동에서의 활동 내용 81

〈표 IV-7〉 〈모둠 6〉 학생들의 정당화 1수준 내용 82

〈표 IV-8〉 〈모둠 6〉 학생들의 정당화 2수준 내용 83

〈표 IV-9〉 약수와 배수 단원의 사전·사후 검사 3, 4, 7번 문항 84

〈표 IV-10〉 분수 단원의 사전·사후 검사 4, 5, 6번 문항 89

〈표 IV-11〉 〈모둠 3〉의 의사소통 양상의 변화 내용 106

〈표 IV-12〉 〈모둠 6〉 학생들의 의사소통 내용 109

그림목차

[그림 II-1] 세 종류의 체계 사이의 모델링 상호작용 18

[그림 II-2] 수학화 vs 의미의 해독 18

[그림 II-3] Open University(1990)의 수학적 모델링 과정 20

[그림 II-4] Maki와 Thompson(1973)의 수학적 모델링 과정 20

[그림 II-5] NCTM이 제시한 수학적 모델링 과정 21

[그림 II-6] Lesh와 Doerr의 수학적 모델링 과정 21

[그림 II-7] 수학적 모델링 활동 과정 22

[그림 II-8] 초등 수학에서의 수학적 모델링 과정 22

[그림 II-9] 수학적 모델링의 수업 적용 절차 23

[그림 II-10] 피타고라스의 시각적 정당화 27

[그림 II-11] Tall(1998)의 표현의 인지발달 27

[그림 II-12] Miyazaki의 증명의 유형 29

[그림 III-1] 본 연구에 적용된 수학적 모델링 수업 적용 절차 45

[그림 III-2] 〈교통신호등 시간은 몇 초가 적당할까?〉 문제 상황(약수와 배수) 48

[그림 III-3] 〈마라톤 코스를 정해보자〉 문제 상황(분수) 50

[그림 IV-1] 〈모둠 3〉 학생들의 정당화 2수준 사례 78

[그림 IV-2] A학생의 수학적 정당화 사례 85

[그림 IV-3] B학생의 수학적 정당화 사례 87

[그림 IV-4] C학생의 수학적 정당화 사례 88

[그림 IV-5] D학생의 수학적 정당화 사례 91

[그림 IV-6] E학생의 수학적 정당화 사례 92

[그림 IV-7] F학생의 수학적 정당화 사례 94

[그림 IV-8] 〈모둠 3〉의 의사소통 수준(교통신호등 문제) 98

[그림 IV-9] 〈모둠 6〉의 의사소통 수준(교통신호등 문제) 99

[그림 IV-10] 〈모둠 3〉의 의사소통 수준(마라톤 코스 문제) 102

[그림 IV-11] 〈모둠 6〉의 의사소통 수준(마라톤 코스 문제) 102

[그림 IV-12] 〈모둠 3〉 학생들의 수학적 논의 내용 기록 107

[그림 IV-13] 〈모둠 3〉의 수학적 의사소통과 수학적 정당화 과정 111

[그림 IV-14] 〈모둠 6〉의 수학적 의사소통과 수학적 정당화 과정 111

초록보기

변화하는 현대 사회는 사람에게 요구되는 능력도 함께 변하고 있으며, 보다 고차적인 능력을 요구하고 있다. 현대 사회는 계산만 하는 사람을 원하는 것이 아니라 수학적 문제 해결 능력을 지닌 사람을 필요로 한다. 수동적인 인간이 아닌 능동적인 인간을 원하는 현대 사회의 요구에 부응하기 위한 방안의 하나로서 교육 현장에 수학적 모델링 학습을 적용하는 방안을 생각해볼 수 있다. 교육과정에서 수학적 소양과 수학적 힘을 지속해서 강조해오고 있는 것과는 달리 PISA와 TIMSS 보고서를 보면 학생들이 고차적인 수학 능력을 측정하는 문항에서 어려움을 보인다는 결과가 나타났다(김도한 외, 2009; 김경희, 2010a; 박경미, 2004; 박경미, 김동원, 2011; 한국교육과정평가원, 2004, 2007). 이러한 결과를 살펴볼 때, 우리나라 학생들에게 고차적인 사고를 할 수 있는 기회가 절실히 요구되며 이러한 기회를 제공하는 방법으로서 실생활 문제 상황을 수학적 문제로 제시하는 수학적 모델링을 생각해볼 수 있다. 그러나 현재 학교 현장에서는 이러한 수학적 모델링 문제가 쉽게 적용될 수 있는 여건이 조성되어 있지 않다. 또한 수학적 모델링이 초등학교 수준에서 이루어지기 어렵다는 인식으로 인해 연구도 중등에 비해 잘 이루어지지 않아 초등학교 수준에서 수학적 모델링을 다룬 여러 연구들이 요구되는 실정이다. 이에 본 연구에서는 초등학교 5학년 수학 학습에 수학적 모델링을 적용하여 문제 해결 과정에서 나타나는 초등학생의 수학적 정당화와 수학적 의사소통 수준과 양상을 분석하였다.

본 연구의 목적을 위해 설정한 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 수학적 모델링 수업 과정에서 학생들의 수학적 정당화는 어떻게 나타나는가? 둘째, 수학적 모델링 수업 과정에서 학생들의 수학적 의사소통은 어떻게 나타나는가?

이상의 연구 문제를 토대로 본 연구에서는 수학적 모델링, 수학적 정당화, 수학적 의사소통, 2007개정교육과정과 2009개정교육과정과 관련된 참고 문헌 및 선행 연구 고찰을 토대로 서울특별시 강동교육청에 위치한 C초등학교 5학년 1개 학급을 연구 대상으로 선정하여 연구를 진행하였다. 수학적 모델링 학습이 이루어지는 동안 나타나는 학생들의 활동지와 활동 결과물, 관찰 기록, 학생 인터뷰 등으로 연구 대상 학생들의 정당화와 의사소통 과정을 분석하였고, 사전 검사 및 사후 검사 문항에 대한 연구 대상 학생들의 구체적인 반응 사례들을 통해 사전·사후 검사에 나타난 수학적 정당화 수준을 분석하였다. 또한 〈모둠 3〉과 〈모둠 6〉의 활동 사례를 분석하여 의사소통 변화에 따른 정당화 수준을 알아보았다.

수학적 모델링 문제의 해결 과정에 나타난 수학적 정당화와 수학적 의사소통에 관한 연구 결과를 종합해 볼 때, 첫 번째 연구 문제와 관련하여 여섯 모둠 중 한 모둠이 두 번의 모델링 과정에서 정당화 수준의 변화를 보였고, 한 모둠 학생들은 변화가 크게 없었다. 모델링 과정에서 구체적인 조작물이나 눈에 보이는 것으로서 사고하는 초등학교 학생들에게 주어진 문제 상황을 수학적인 사고를 통해 남을 설득할 수 있는 근거를 논리적으로 제시한다는 것이 쉽지 않았음이 나타났다.

한편 학생들은 교통 신호등 문제와 마라톤 코스 문제를 해결함에 있어 준비단계에서는 정당화를 보이지 않았고, 모델유도활동에서부터 정당화를 하였다. 문제 유도활동에서는 문제 해결 과정을 본격적으로 논의를 하면서 성취도가 높은 한명의 학생 주도로 문제 해결이 이루어지는 경우 나름의 수학적 논리의 정교성이 떨어지는 결과를 낳았기 때문에 정당화 수준이 높게 나타나지는 않았다. 반면, 성취도 수준이 다르더라도 모든 모둠원들이 문제 해결에 참여하여 서로의 생각에 대해 질문하고 답할 때 정당화 수준도 높게 나타났다. 대부분 모델탐색활동에서 모둠별 발표를 거치면서 다른 모둠의 발표를 듣고 자신들의 방법에 대해 반성이 일어나면 모델적용활동에서 정당화 수준이 이전보다는 높아지는 것을 볼 수 있었다. 이는 학생들이 모델탐색활동에서 모둠 간 질문과 대답을 하면서 스스로의 방법을 반성해야 한다는 자각을 하고 그 과정에서 나름의 수학적 논리를 더 확고히 하려는 움직임이 마지막 활동의 정당화 수준을 높이게 되었다고 보여진다.

두 번째 연구 문제에 관하여 두 번의 모델링 활동 과정에서 여섯 모둠 중 한 모둠이 의사소통의 수준 변화를 가장 크게 보였고, 한 모둠은 변화가 크게 없었다. 두 번째 모델링 활동에서는 의사소통 수준이 첫 번째 모델링 활동과 비교했을 때 1수준에서 2수준 정도 향상되었고, 1개 모둠(〈모둠 3〉)의 경우 활동 전반에서 2~3수준의 높은 의사소통을 보여주었다. 이는 학생들이 지금까지 수학 학습에서 교과서 위주의 계산 학습과 소집단으로 문제를 해결하는 과정보다 개인적으로 문제를 해결하는 학습 환경에 익숙해져 있기 때문이다. 학생들은 서로 의사소통을 하는 것 자체를 어려워하는 것으로 나타났으며, 높은 수준으로 의사소통 하는 것이 쉽지 않았음을 보였다.

학생들은 교통신호등 문제와 마라톤 문제를 해결하면서 준비활동에서는 문제에 필요한 정보를 파악하고 해결해야 할 사항을 인식하기 위해 의사소통이 활발히 일어나지 않았다. 모델유도활동에서는 문제 해결을 위한 방법 논의가 본격적으로 시작되면서 의사소통도 활성화되기 시작되었다. 학생들은 교통신호등 문제의 경우 신호등 시간을 배분하기 위한 나름의 방법을 찾기 위해 약수와 배수를 활용하기도 하고, 학생들 나름의 측정을 하기도 하였다. 마라톤 문제의 경우 문제에서 주어진 조건을 만족하는 코스를 찾아내기 위해 여러 가지 코스를 고려해보고, 효율적인 코스를 만드는 방법도 논의를 통해 찾아나갔다. 모델유도활동에서 첫 번째 모델링의 경우 학생들은 의사소통에 어려움이 많고 다른 사람의 의견을 듣고 적절한 반응을 하지 못했으나 두 번째 모델링에서는 이전 활동 경험을 반영하여 다른 학생들의 의견에 조금씩 반응하면서 해결 방법을 찾아나갔다. 정당화와 마찬가지로 의사소통도 모델탐색활동 이후 모델적용활동에서 학생들의 의사소통이 더 활발해지는 경향이 있었으며 이는 학생들이 인지적으로 자신들의 해결방법에 대해 문제점을 깨달았을 때 나타났다. 의사소통의 수준은 각 모둠별로 다른 수준을 나타내면서 모둠별 의사소통 수준의 차이를 드러내었으나 전반적으로 학생들이 활동에 익숙해질수록 자신들의 의견을 말하고 반박하는 활동에 흥미를 느끼기 시작했다.

〈모둠 3〉과 〈모둠 6〉의 정당화와 의사소통 사례를 분석한 결과, 〈모둠 3〉의 학생들은 첫 번째 모델링에서는 수학적 정당화와 수학적 의사소통이 높지는 않았으나 두 번째 모델링에서는 수학적 정당화와 수학적 의사소통이 높게 나타났으며, 〈모둠 6〉의 학생들은 첫 번째 모델링과 두 번째 모델링에서 수학적 정당화와 수학적 의사소통이 조금 향상되었다. 두 모둠의 사례를 보았을 때, 의사소통 수준이 정당화에 영향을 미쳤다. 의사소통의 4개 영역에서 의사소통이 활발히 진행된 〈모둠 3〉의 경우 정당화 수준도 높게 향상되었으나 〈모둠 6〉의 경우 의사소통이 4개 영역 고루 이루어지지 않고 말하기 하나의 영역에 집중되어 나타났기 때문에 결과적으로 타인에게 수학적인 설득력이 부족하였고, 이것이 정당화에도 영향을 미친 것으로 나타났다.

이는 앞으로의 수학 학습이 학생들에게 정당화와 의사소통에 대한 학습을 충실히 하도록 할 필요가 있으며, 이는 의사소통을 경험할 수 있는 수업을 통해 정당화 수준을 함께 발전시켜야 함을 의미한다.

이와 같은 본 연구의 결과를 바탕으로 몇 가지 제언을 하면, 첫째, 학교 수학 수업에서 수학적 모델링을 적용할 수 있는 문제 상황을 제시하고 수학적 모델링 과제 해결 과정에서 나타나는 학생들의 정당화 및 의사소통 외에 또 다른 측면의 수학적 사고 능력을 분석할 수 있는 연구가 필요하다. 둘째, 학생들의 의사소통이 활동에서 차지하는 역할이 매우 크기 때문에, 의사소통의 수준과 양상을 더욱 연구하여 학생들의 고차적 능력과 어떻게 연관될 수 있는지 의사소통 수준과 양상에 대한 후속 연구가 요구된다. 셋째, 초등학교 수학 교과서에 실생활과 관련한 문제 상황이 포함되어 학생들이 교과서에서 무의식적으로 문제를 보고 계산을 수행하는 것이 아니라 실생활과 관련된 문제를 수학적으로 사고할 수 있도록 해야 한다. 넷째, 현재 학교 현장에서 이루어지고 있는 평가 형태의 변화를 통해 학생들의 수학적 사고 수준을 보다 면밀하게 평가하여 학생들 개인의 능력을 평가하고 후속 학습에 활용할 필요가 있다. 다섯째, 하위권 수준의 학생들에게도 효과가 있는 단계적 모델링 적용 방안을 생각해 볼 필요가 있다. 본 연구는 모든 학생들에게 효과가 있는 것은 아니었고, 중~상위권 학생들에게 영향이 있었다. 하위권 수준의 학생들은 기초적인 계산 단계를 어려워하는 경향이 있었으므로 하위권 학생들을 위한 지도방안도 고려해야 할 것이다.

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