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표제지

목차

논문요약 11

Ⅰ. 서론 13

1. 연구의 필요성 및 목적 13

2. 연구문제 16

3. 용어의 정의 16

가. 오류 16

나. 자연수의 곱셈 16

다. 자연수의 나눗셈 16

4. 연구의 제한점 17

Ⅱ. 이론적 배경 18

1. 곱셈 18

가. 곱셈의 개념 18

나. 곱셈의 알고리즘 20

2. 나눗셈 27

가. 나눗셈의 개념 27

나. 나눗셈의 알고리즘 29

3. 오류 34

가. 자연수의 곱셈 오류 유형 34

나. 자연수의 나눗셈 오류 유형 40

Ⅲ. 연구방법 46

1. 연구 대상 46

2. 연구 절차 47

3. 검사 도구 개발 48

가. 자연수의 곱셈 49

나. 자연수의 나눗셈 51

4. 자료 수집 53

가. 검사 실시 53

나. 검사 결과 채점 54

5. 자료 분석 55

가. 오류 유형 분석 55

나. 오류 발생 경향 분석 58

Ⅳ. 연구결과 60

1. 자연수의 곱셈과 나눗셈 검사 결과 60

2. 자연수의 곱셈 연구 결과 62

가. 오류 유형 62

나. 오류 유형별 발생 경향 73

다. 교수-학습 주제별 오류 발생 경향 76

3. 자연수의 나눗셈 오류 유형 및 오류 발생 경향 103

가. 오류 유형 103

나. 오류 유형별 발생 경향 110

다. 교수-학습 주제별 오류 발생 경향 113

Ⅴ. 결론 134

1. 요약 134

2. 결론 136

3. 제언 140

참고문헌 141

ABSTRACT 144

부록 147

〈부록 1〉 자연수의 곱셈 검사지 147

〈부록 2〉 자연수의 나눗셈 검사지 149

표목차

〈표 Ⅱ-1〉 킬리안 외(Kilian, et al., 1980) 오류 유형 34

〈표 Ⅱ-2〉 1970-1980년대 곱셈 오류 유형 연구 35

〈표 Ⅱ-3〉 윤희태(2002)의 곱셈 오류 유형 37

〈표 Ⅱ-4〉 권준범(2012)의 오류 유형 39

〈표 Ⅱ-5〉 윤희태(2002)의 나눗셈 오류 유형 40

〈표 Ⅱ-6〉 김민정(2004)의 나눗셈 오류 유형 42

〈표 Ⅱ-7〉 정인선(2006)의 나눗셈 오류 유형 43

〈표 Ⅱ-8〉 박현주(2007)의 나눗셈 오류 유형 44

〈표 Ⅲ-1〉 연구 대상 학교별 학생 수 46

〈표 Ⅲ-2〉 연구 절차 및 기간 48

〈표 Ⅲ-3〉 자연수의 곱셈 문항 선정 49

〈표 Ⅲ-4〉 자연수의 나눗셈 문항 선정 51

〈표 Ⅲ-5〉 킬리안 외(Kilian et al., 1980)의 오류 유형과 본 연구의 오류 유형 56

〈표 Ⅳ-1〉 자연수의 곱셈과 나눗셈 총 문항 수 60

〈표 Ⅳ-2〉 자연수의 곱셈과 나눗셈 검사 결과 61

〈표 Ⅳ-3〉 자연수 곱셈 오류 유형 63

〈표 Ⅳ-4〉 자연수의 곱셈 오류 유형별 백분율 75

〈표 Ⅳ-5〉 자연수의 곱셈 교수-학습 주제별 오류율 76

〈표 Ⅳ-6〉 (몇십)x(몇) 오류 유형별 백분율 81

〈표 Ⅳ-7〉 올림이 없는 (몇십몇)x(몇) 오류 유형별 백분율 82

〈표 Ⅳ-8〉 십의 자리에서 올림이 있는 (몇십몇)x(몇) 오류 유형별 백분율 83

〈표 Ⅳ-9〉 일의 자리에서 올림이 있는 (몇십몇)x(몇) 오류 유형별 백분율 84

〈표 Ⅳ-10〉 십의 자리와 일의 자리에서 올림이 있는 (몇십몇)x(몇) 오류 유형별 백분율 86

〈표 Ⅳ-11〉 올림이 없는 (세 자리 수)x(한 자리 수) 오류 유형별 백분율 88

〈표 Ⅳ-12〉 일의 자리에서 올림이 있는 (세 자리 수)x(한 자리 수) 오류 유형별 백분율 89

〈표 Ⅳ-13〉 십의 자리, 백의 자리에서 올림이 있는 (세 자리 수)x(한 자리 수) 오류 유형별 백분율 90

〈표 Ⅳ-14〉 (몇십)x(몇십) 오류 유형별 백분율 92

〈표 Ⅳ-15〉 (몇십몇)x(몇십) 오류 유형별 백분율 94

〈표 Ⅳ-16〉 (몇)x(몇십몇) 오류 유형별 백분율 97

〈표 Ⅳ-17〉 올림이 한 번 있는 (몇십몇)x(몇십몇) 오류 유형별 백분율 99

〈표 Ⅳ-18〉 올림이 여러 번 있는 (몇십몇)x(몇십몇) 오류 유형별 백분율 101

〈표 Ⅳ-19〉 자연수 나눗셈 오류 유형 103

〈표 Ⅳ-20〉 자연수의 나눗셈 오류 유형별 백분율 112

〈표 Ⅳ-21〉 자연수의 나눗셈 교수-학습 주제별 오류율 114

〈표 Ⅳ-22〉 내림이 없는 (몇십)÷(몇) 오류 유형별 백분율 118

〈표 Ⅳ-23〉 내림이 없는 (몇십몇)÷(몇) 오류 유형별 백분율 119

〈표 Ⅳ-24〉 내림이 있는 (몇십)÷(몇) 오류 유형별 백분율 121

〈표 Ⅳ-25〉 내림이 있는 (몇십몇)÷(몇) 오류 유형별 백분율 123

〈표 Ⅳ-26〉 나머지가 있는 (몇십몇)÷(몇) 오류 유형별 백분율 125

〈표 Ⅳ-27〉 내림이 있고 나머지가 있는 (몇십몇)÷(몇) 오류 유형별 백분율 127

〈표 Ⅳ-28〉 나머지가 없는 (세 자리 수)÷(한 자리 수) 오류 유형별 백분율 129

〈표 Ⅳ-29〉 나머지가 있는 (세 자리 수)÷(한 자리 수) 오류 유형별 백분율 131

그림목차

[그림 Ⅱ-1] 2학년 1학기 수학 교과서 18

[그림 Ⅱ-2] 검정 교과서 가로셈 예시 21

[그림 Ⅱ-3] 승수가 (두 자리 수)인 가로셈 예시 22

[그림 Ⅱ-4] 표준 알고리즘 예시 23

[그림 Ⅱ-5] 검정 교과서 세로셈 예시 24

[그림 Ⅱ-6] 검정 교과서 10의 곱셈 예시 1 25

[그림 Ⅱ-7] 검정 교과서 10의 곱셈 예시 2 26

[그림 Ⅱ-8] 분배 알고리즘 예시 30

[그림 Ⅱ-9] 검정 교과서 속 분배 알고리즘 예시 31

[그림 Ⅱ-10] 누감 알고리즘 예시 32

[그림 Ⅱ-11] 교과서 속 누감 알고리즘 예시 33

[그림 Ⅳ-1] 알고리즘 오류 예시 1 64

[그림 Ⅳ-2] 알고리즘 오류 예시 2 65

[그림 Ⅳ-3] 0 곱셈 오류 예시 67

[그림 Ⅳ-4] 올림 오류 예시 1 69

[그림 Ⅳ-5] 올림 오류 예시 2 70

[그림 Ⅳ-6] 기초 연산 오류 예시 71

[그림 Ⅳ-7] 자릿값의 오류 예시 72

[그림 Ⅳ-8] 자연수의 곱셈 오류 유형별 오류 발생 경향 74

[그림 Ⅳ-9] (몇십)x(몇) 오류 예시 81

[그림 Ⅳ-10] 올림이 없는 (몇십몇)x(몇) 오류 예시 82

[그림 Ⅳ-11] 십의 자리에서 올림이 있는 (몇십몇)x(몇) 오류 예시 83

[그림 Ⅳ-12] 일의 자리에서 올림이 있는 (몇십몇)x(몇) 오류 예시 85

[그림 Ⅳ-13] 십의 자리와 일의 자리에서 올림이 있는 (몇십몇)x(몇) 오류 예시 87

[그림 Ⅳ-14] 올림이 없는 (세 자리 수)x(한 자리 수) 오류 예시 88

[그림 Ⅳ-15] 일의 자리에서 올림이 있는 (세 자리 수)x(한 자리 수) 오류 예시 90

[그림 Ⅳ-16] 십의 자리, 백의 자리에서 올림이 있는 (세 자리 수)x(한 자리 수) 오류 예시 91

[그림 Ⅳ-17] (몇십)x(몇십) 오류 예시 93

[그림 Ⅳ-18] (몇십몇)x(몇십) 오류 예시 1 95

[그림 Ⅳ-19] (몇십몇)x(몇십) 오류 예시 2 96

[그림 Ⅳ-20] (몇)x(몇십몇) 오류 예시 98

[그림 Ⅳ-21] 올림이 한 번 있는 (몇십몇)x(몇십몇) 오류 예시 100

[그림 Ⅳ-22] 올림이 여러 번 있는 (몇십몇)x(몇십몇) 오류 예시 102

[그림 Ⅳ-23] 알고리즘 오류 예시 105

[그림 Ⅳ-24] 가정몫의 오류 예시 107

[그림 Ⅳ-25] 기초 연산 오류 예시 107

[그림 Ⅳ-26] 0 처리 오류 예시 109

[그림 Ⅳ-27] 자릿값의 오류 예시 109

[그림 Ⅳ-28] 자연수의 나눗셈 오류 유형별 오류 경향 111

[그림 Ⅳ-29] 내림이 없는 (몇십)÷(몇) 오류 예시 119

[그림 Ⅳ-30] 내림이 없는 (몇십몇)÷(몇) 오류 예시 120

[그림 Ⅳ-31] 내림이 있는 (몇십)÷(몇) 오류 예시 122

[그림 Ⅳ-32] 내림이 있는 (몇십몇)÷(몇) 오류 예시 124

[그림 Ⅳ-33] 나머지가 있는 (몇십몇)÷(몇) 오류 예시 126

[그림 Ⅳ-34] 내림이 있고 나머지가 있는 (몇십몇)÷(몇) 오류 예시 128

[그림 Ⅳ-35] 나머지가 없는 (세 자리 수)÷(한 자리 수) 오류 예시 130

[그림 Ⅳ-36] 나머지가 있는 (세 자리 수)÷(한 자리 수) 오류 예시 132

초록보기

 본 연구에서는 자연수의 곱셈과 나눗셈 알고리즘이 처음 도입되는 초등학교 3학년 학생들의 오류를 분석하여 지도에 시사점을 얻고자 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다.

첫째, 초등학교 3학년 학생들이 자연수의 곱셈에서 보이는 오류 유형과 오류 발생 경향은 무엇인가?

둘째, 초등학교 3학년 학생들이 자연수의 나눗셈에서 보이는 오류 유형과 오류 발생 경향은 무엇인가?

연구 문제를 해결하기 위해 서울특별시에 위치한 3개의 초등학교 3학년 학생들을 대상으로 자연수의 곱셈과 나눗셈 검사를 실시하여 발생한 오류를 분석하였다. 선행 연구 킬리안 외(Kilian et al., 1980)의 오류 유형을 기반으로 학생들의 오류 특징을 분석하여 오류 유형을 설정하였고 교수-학습 주제와 오류 유형에 따라 발생 경향을 분석하였다.

본 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다.

첫째, 초등학교 3학년 학생들은 자연수의 곱셈에서 알고리즘 오류, 0 처리 오류, 올림 오류, 기초 연산 오류, 자릿값의 오류를 보였다. 학생들에게 주로 나타난 오류 유형은 자릿값의 오류와 알고리즘 오류, 기초 연산 오류이므로 자릿값 개념 지도를 통한 곱셈 개념 지도와 곱셈 알고리즘 절차에 대한 개념적인 이해 지도가 필요하다. 자연수의 곱셈 중에서 승수가 (두 자리 수)인 교수-학습 주제에서 오류가 많이 발견되었으며 올림이 여러 번 있는 교수-학습 주제에서 오류가 많이 발생하였으므로 올림에 대한 체계적인 지도가 필요하다.

둘째, 초등학교 3학년 학생들은 자연수의 나눗셈에서 알고리즘 오류, 가정몫의 오류, 기초 연산 오류, 0 처리 오류, 자릿값의 오류를 보였다. 학생들에게 주로 나타난 오류 유형은 알고리즘 오류, 기초 연산 오류, 0 처리 오류이므로 나눗셈 알고리즘을 지도할 때 구체물을 사용한 나눗셈 의미에 대한 충분한 이해가 선행되어야 하며 학생들이 갖고 있는 비형식적인 지식과 연계하여 나눗셈 알고리즘을 도입하는 등의 세심한 접근이 필요하다. 자연수의 나눗셈에서는 피제수가 (세 자리 수)인 교수-학습 지도에서 무응답 비율과 오류율이 크게 증가하였다. 피제수가 (세 자리 수)인 교수-학습 지도 역시 세분화된 지도가 필요하다.

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